在20世纪70年代，有两个被数学界广泛关注的话题一个是混沌理论，即所谓的非线性动力学这个题目是由微积分发展而来另一个是复杂系统，有着不那么正统的思维方式，激发着新的数学和新的科学
混乱
科学决定论的发展伴伴随着一个模糊但根深蒂固的复杂性守恒概念这是简单的原因必然产生简单的结果的假设，也意味着复杂的结果必然有复杂的原因这种想法让我们想知道复杂系统的复杂性从何而来比如，既然生命一定起源于无生命的星球，那么它的复杂性从何而来我们很少想到复杂性可能会自动出现，但这正是数学所展示的
从拉普拉斯到庞加莱
一种随时知道自然界万物动态及其相互位置的智能如果这种智能足够强大，可以把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动浓缩成一个公式对于这样一个智能来说，没有什么是不确定的，未来和过去一样
具有讽刺意味的是，正是在天体力学中，拉普拉斯的决定论受到了挑战1886年，瑞典国王奥斯卡二世设立了解决太阳系稳定性的奖项太阳系会一直稳定运行吗还是会有行星撞上太阳能量和动量守恒的物理定律并没有阻止这两种可能性太阳系的详细动力学能提供更多线索吗
庞加莱决心挑战这个问题，他仔细研究了一个更简单的问题，即三个天体的系统三个物体的方程比两个物体的差不了多少，一般形式也大致相同可是，庞加莱的三体出乎意料地困难，他发现了一些令人不安的事情这些方程的解与两体方程的解完全不同事实上，这些解非常复杂，无法用数学公式写下来更糟糕的是，他对解的几何结构有足够的了解，可以毫无疑问地证明，这些解所代表的运动有时可能是高度无序和无规律的这种复杂性现在被认为是混乱的典型例子
大约60年后，对三体的研究引发了一场革命，改变了我们对宇宙和数学关系的看法。
1926年，荷兰工程师巴尔塔萨·范德波尔建立了一个模拟心脏的数学模型，发现在一定条件下，产生的振荡是不规则的，而不是像正常心跳那样是周期性的后来数学家们在一项雷达电子学的研究中，为范德波尔的研究提供了坚实的数学基础
非线性动力学
20世纪60年代初，美国数学家斯蒂芬·斯迈思呼吁对电子电路的典型行为类型进行完整分类，从而开启了动态系统理论的现代时代起初，他认为答案是周期性运动的组合，但很快意识到更复杂的行为是可能的特别是他发展了庞加莱对受限三体中复杂运动的发现，简化了几何结构，产生了一个被称为斯梅尔的马蹄铁的系统他证明了马蹄形系统虽然是确定的，但也有一些随机特征
一个普遍的理论开始出现同时，混沌系统零星地出现在应用文献中最著名的混沌系统是气象学家爱德华·洛伦茨在1963年提出的洛伦兹要建立一个大气对流模型，用一个包含三个变量的更简单的方程来逼近这个现象非常复杂的方程当在计算机上数值求解这些问题时，他发现解以一种不规则的，几乎是随机的方式振荡他还发现，如果变量的初始值稍有扰动，结果就会大不相同他在随后的讲座中对这一现象的描述导致了著名的蝴蝶效应
这种效应给天气预报带来了很大的问题但是得出蝴蝶导致了飓风的结论是错误的在现实世界中，影响天气的不是一只蝴蝶，而是数万亿只蝴蝶的统计特征和其他微小扰动一般来说，这些因素对飓风发生的地点，时间和随后的走向都有一定的影响
研究者用拓扑方法证明庞加莱观测到的奇异解是方程中奇异吸引子的必然结果一个奇怪的吸引子是一个复杂的运动它可以被想象成由描述系统的变量形成的状态空间中的一个形状
吸引子的结构解释了混沌系统的一个奇特特征:它们可以在短期内被预测，但不能在长期内被预测为什么不能把几个短期预测串起来形成一个长期预测因为我们对混沌系统描述的准确性会伴随着时间的推移而降低，而且降低的速度是递增的，有一个我们无法超越的预测范围尽管如此，这个系统仍然在同一个奇怪的吸引子上，但是它通过吸引子的路径已经发生了显著的变化
这改变了我们对蝴蝶效应的看法蝴蝶所能做的就是在同一个奇怪的吸引子上促进天气的变化
大卫·鲁伊尔和弗洛里·斯泰康很快发现了奇怪吸引子在物理学中的应用，即流体湍流这个令人困惑的问题流体流动的标准方程称为纳维尔—斯托克斯方程，是一个偏微分方程一种常见的流体流动，层流，是平滑而有规律的，这正是你从决定论中所期待的但另一种湍流是不规则的，几乎是随机的以前的理论要么声称湍流是极其复杂的模式的组合，其中每个模式都非常简单，要么声称navier—stokes方程在湍流状态下失效但是鲁伊尔和塔肯斯有第三种理论他们认为湍流是奇怪吸引子的一个物理例子
起初，人们对这个理论持怀疑态度，但现在我们知道它是正确的其他成功的应用随之而来，混沌一词被用作所有此类行为的名称
理论的怪物
1870年至1930年间，一群特立独行的数学家发明了一系列奇怪的形状，唯一的目的是证明经典分析的局限性在微积分的早期发展中，数学家假设任何连续变化的量几乎在任何地方都有确定的变化率例如，在空间中连续运动的物体有一定的速度可是，在1872年，维尔斯特拉斯证明了这个长期存在的假设是错误的一个物体可以以连续的方式运动，但它的运动是非常不规则的，它的速度一直在突变这意味着它实际上根本没有一个合理的速度
数学家发现的奇怪形状包括:一条曲线充满整个空间区域，一条曲线在每一点交叉，一条无限的曲线围绕一个有限的区域最后一个怪异的几何图形，是冯·科赫在1906年发明的雪花曲线
由于其六重对称性，最终结果看起来像一片复杂的雪花。
数学主流开始谴责这些奇怪的东西是病态的和怪物的画廊，但伴随着时间的推移，特立独行的观点获得了支持到了世纪之交，数学家们已经开始接受怪物画廊中的怪物到1900年，希尔伯特甚至称这个领域为天堂
20世纪60年代，出乎所有人意料的是，理论怪物画廊在应用科学方向得到了意想不到的推动曼德·布劳思意识到这些奇怪的曲线是不规则自然理论的线索他将它们重新命名为分形自然界充满了复杂而不规则的结构，如海岸线，山脉，云层，树木，冰川，水系，波浪，陨石坑，菜花，这些都是传统几何学无能为力的我们需要一种新的自然几何学
今天，科学家们已经将分形融入到他们正常的思维方式中大气流动是湍流，湍流是分形，分形可以像维尔斯特拉斯的反常函数一样连续运动，但没有确定的速度曼德·布劳思在科学内外的许多领域都找到了分形的例子——树木的形状，河流的分支模式，股票市场的走势
混乱无处不在。
奇怪的吸引子，从几何的角度来看，原来是分形这两条思路交织在一起，形成了现在众所周知的混沌理论
混沌几乎存在于科学的每个领域数学家发现太阳系的动力学是混乱的由于动态混沌的存在，太阳系的预测范围约为1000万年所以，如果你想知道公元1000万年地球在太阳的哪一边，是不可能的这些天文学家还表明，月球的潮汐稳定了地球，这导致了宜居的气候，所以混沌理论表明，如果没有月球，地球将是一个非常不适宜居住的地方
几乎所有生物种群的数学模型中都会出现混沌生态系统通常不会达到某种自然的静态平衡相反，他们在奇怪的吸引子上徘徊他们通常看起来很相似，但他们总是在变化
复杂性
当今科学面临的许多问题极其复杂要管理珊瑚礁，森林或渔场，有必要了解一个高度复杂的生态系统，在这个系统中，看似无害的变化可能会引发意想不到的问题现实是如此复杂和难以测量，以至于传统的建模方法难以建立，更难以验证为了应对这些挑战，越来越多的科学家开始相信，我们需要从根本上改变我们模拟世界的方式
20世纪80年代初，乔治·考恩意识到新发展的非线性动力学理论是一条前进的道路在非线性动力学成为科学建模的主要方法之前，它的作用主要是理论性的最深刻的工作是庞加莱对天体力学三体的研究这预示着天体轨道的高度复杂性，但对它们的确切情况却知之甚少这证明了一个简单的方程不一定有简单的解，复杂性不守恒，但可以有更简单的起源
细胞自动机
在一个名为细胞自动机的数学模型中，生物被简化成彩色的小方块约翰·冯·诺依曼试图理解生命自我复制的能力想象一个由巨大的方格网格组成的宇宙这些网格被称为细胞，就像一个巨大的棋盘在任何时候，给定的方块都可以以某种状态存在这个棋盘宇宙有自己的自然法则，描述了每个细胞的状态如何随时间变化，并用颜色表示那些状态这个棋盘宇宙的自然法则很简单:如果一个细胞是红色的，旁边有两个蓝色的细胞，那么它一定会变成黄色任何这样的系统都被称为细胞自动机元胞自动机是因为网格，自动机是因为盲目服从任何列出的规则
为了模拟生物最基本的特征，冯·诺依曼创造了一种可以自我复制的细胞结构它有200，000个细胞，并带有29种不同颜色的编码描述这种描述可以盲目照搬冯·诺依曼直到1966年才发表他的研究成果，当时克里克和沃森发现了dna的结构，生命真正如何复制变得清晰起来细胞自动机又被忽视了30年
可是，在20世纪80年代，人们对由大量简单组件组成的系统越来越感兴趣，这些组件相互作用，产生一个复杂的整体传统上，对系统进行数学建模的最佳方式是包含尽可能多的细节但是这种高细节的方法对于一个非常复杂的系统来说是失败的例如，假设您想了解兔子数量的增长情况你不需要模拟兔毛的长度，它们的耳朵有多长，或者它们的免疫系统是如何工作的你只需要知道每只兔子的一些基本信息，年龄，性别，是否怀孕然后，您可以将计算机资源集中在真正重要的事情上
复杂性系统支持的观点是，只要化学足够复杂，生命就有可能。
对于这类系统，元胞自动机是非常有效的他们可以忽略单个组件的不必要的细节，而专注于这些组件之间的相互关系
地质学和生物学
复杂系统的形成，如河流盆地和三角洲，不能用传统的建模技术进行分析peter burrough使用细胞自动机来解释为什么这些自然特征会形成它们所具有的形状自动机模拟水，土地和沉积物之间的相互作用研究结果解释了不同的土壤侵蚀率如何影响河流的形状以及河流如何带走土壤，这些都是河流工程中的重要问题
细胞自动机的另一个重要应用发生在生物学中斯图尔特·考夫曼应用各种复杂的理论技术，深入研究了生物学的另一个重大问题:有机形态的发展一个生物体的生长发育必然涉及大量的动态过程，而不仅仅是将储存在dna中的信息转化为有机形式的问题一种有效的方法是将发展表示为复杂非线性系统的动力学
细胞自动机让我们对生命的起源有了新的认识冯·诺依曼的自我复制自动机非常特别它被精心设计来复制高度复杂的初始配置1993年，研究人员开发了一种具有29种状态的细胞自动机，其中随机选择的初始状态可以导致98%以上的自我复制结构在这个自动机中，自我复制的实体几乎是确定的
复杂性系统支持这样的观点:在一个化学成分足够复杂的无生命星球上，生命很可能自发形成并组织成更复杂的形式有待理解的是，是什么样的规律导致了自我复制结构在我们的宇宙中自发出现，也就是说，是什么样的物理规律使这至关重要的生命第一步不仅是可能的，而且是不可避免的
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